Cálculo Ejemplos

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3.2

Resta $e^{2 x}$ de $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

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Paso 1.1.4.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $e^{2 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{2 x} = 0$

No hay solución

Paso 2.3.3

Establece $2 x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $2 x - 7$ igual a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $2 x - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 7$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $2 x = 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4

Evalúa $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{7}{2}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{7}{2}$ por $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 4.1.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Paso 4.1.2.2.4.2

Resta $6$ de $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{7} \cdot 2$

Paso 4.1.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Paso 5