Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Paso 1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Paso 2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Reescribe.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Paso 3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Paso 3.3

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Paso 3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Paso 3.5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3.5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Paso 3.5.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Paso 3.5.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Paso 3.7.2

Multiplica $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Paso 3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Paso 3.9

Evalúa el límite.

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Paso 3.9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $e^{u}$ en $- t$ y en $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Paso 3.9.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Paso 3.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Paso 3.9.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 3.10

Como el exponente $- t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t}$ se acerca a $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 3.11

Evalúa el límite.

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Paso 3.11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 3.11.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.11.2.1

Resta $1 \cdot 1$ de $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.11.2.2.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.11.2.2.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 3.11.2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Paso 3.11.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$