Cálculo Ejemplos

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante la integración por partes. Mathway usará otro método.

Paso 2

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 2) u^{4} d u$

Paso 3

Multiplica $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

Paso 4

Multiplica $u$ por $u^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $u$ por $u^{4}$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

Paso 4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$