Cálculo Ejemplos

$\int 20 \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Paso 1

Dado que $20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$20 \int \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x - 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$20 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$20 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$20 (\frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $20$ .

$\frac{20}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{20}{3}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $20$ por $3$ .

$\frac{60}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{60}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $60$ y $12$ .

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Paso 7.2.4.1

Factoriza $12$ de $60$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.4.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 5}{12 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$5 u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$5 {(3 x - 2)}^{\frac{4}{3}} + C$