Cálculo Ejemplos

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Verifica que la solución dada satisfaga la ecuación diferencial.

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Paso 1.1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Paso 1.1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c e^{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.1.3.4.1

Reordena los factores de $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Paso 1.2

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Paso 1.3

Reordena los factores en $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Paso 1.4

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = c e^{x^{2}}$ es una solución para $y' = 2 x y$

Paso 2

Sustituye en la condición inicial.

$1 = c e^{0^{2}}$

Paso 3

Resuelve $c$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $c e^{0^{2}} = 1$ por $e^{0^{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $c e^{0^{2}} = 1$ por $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{0^{2}}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Paso 3.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Paso 3.2.3.2

Divide $1$ por $1$ .

$c = 1$