Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.1.2

Divide $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.1.5.4.1

Factoriza $x$ de $B (x^{2} (x + 1))$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4.2.3

Cancela el factor común.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4.2.4

Reescribe la expresión.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.4.2.5

Divide $B (x (x + 1))$ por $1$ .

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.9

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.5.9.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 4.1.5.9.2

Divide $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Paso 4.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.6.1

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Paso 4.1.6.2

Mueve $A$ .

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Paso 4.1.6.3

Mueve $B x$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Paso 4.1.6.4

Mueve $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + C$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 4.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 4.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

Paso 4.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = B + C$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 4.3.5

Resuelve $C$ en $0 = - 1 + C$ .

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Paso 4.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + C = 0$ .

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 4.3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 4.3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

Paso 4.3.7

Enumera todas las soluciones.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 10

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Paso 12

Simplifica.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$