Cálculo Ejemplos

$- y + 2 x y = - 3 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y + 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- y' + 2 (x y' + y)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- y' + 2 x y' + 2 y$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$2 x y' + 2 y - y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 x y' - y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ por $2 x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ por $2 x - 1$ .

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

Paso 5.3.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$