Cálculo Ejemplos

$y = x^{n} {(a + b x)}^{m}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{n}$ y $g (x) = {(a + b x)}^{m}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{m}] + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{m}$ y $g (x) = a + b x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a + b x$ .

$x^{n} (\frac{d}{d u} [u^{m}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = m$ .

$x^{n} (m u^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a + b x$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a + b x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (0 + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.4

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b x$ con respecto a $x$ es $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \frac{d}{d x} [x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \cdot 1)) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.6

Multiplica $b$ por $1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = n$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} (n x^{n - 1})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$ .

$b m x^{n} {(a + b x)}^{m - 1} + n x^{n - 1} {(a + b x)}^{m}$