Cálculo Ejemplos

$2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin^{4} (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (2 \cdot \cos (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$2 (8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 2.9

Multiplica $8$ por $2$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin^{3} (4 x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (4 x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\sin (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sin (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $4 x$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $\cos (u_{4})$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $4 x$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)))$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \cdot 4))$

Paso 3.7

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (4 \cdot \cos (4 x)))$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (12 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x))$

Paso 3.9

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 36 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x)$