Cálculo Ejemplos

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Paso 1

Obtén el límite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ a medida que $x$ se acerca a $2$ desde la izquierda.

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Paso 1.1

Cambia el límite bilateral a un límite izquierdo.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.7

Mueve el término $a$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Paso 1.8

Evalúa el límite de $3 a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Paso 1.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Paso 1.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Paso 1.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Paso 1.10.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Paso 1.10.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Paso 1.10.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Paso 1.10.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Paso 1.10.2

Resta $3 a$ de $2 a$ .

$4 - a$

Paso 2

Evalúa $x^{3} + a x^{2} + 5$ en $2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Paso 2.2

Evalúa.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Paso 2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Paso 2.2.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Paso 2.2.2

Suma $8$ y $5$ .

$4 a + 13$

Paso 3

Como el límite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ a medida que $x$ se acerca a $2$ desde la izquierda no es igual al valor de la función en $x = 2$ , la función no es continua en $x = 2$ .

No es continua

Paso 4