Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Paso 8.3

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Paso 8.3.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Paso 8.3.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Paso 8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.2.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Paso 8.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Paso 8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Paso 8.5

Factoriza $- 1$ de $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Paso 8.6

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Paso 8.7

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Paso 8.8

Reescribe $- (x \ln (x) - 1)$ como $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Paso 8.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$