Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (2 t)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (2 t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 1.5.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \cos (π)$

Paso 1.5.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 3

Multiplica $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.4

Multiplica $u_{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.5

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u_{2}$ en $- 1$ y en $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ en $- 1$ y en $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.4

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 9.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 9.3.8

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Paso 9.3.9

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 9.3.10

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.3.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 9.3.13

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 9.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Paso 9.3.14.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 9.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 1}{4}$

Paso 9.3.16

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$