Cálculo Ejemplos

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = - x + 6$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - x + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 1 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x + 6$ .

$u_{lower} = - 0 + 6$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $6$ .

$u_{lower} = 6$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x + 6$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

Paso 1.5.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

Paso 4

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

Paso 5.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

Paso 5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

Paso 5.2.4.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $72$ .

$π (- (0 - 72))$

Paso 5.2.6

Resta $72$ de $0$ .

$π (- - 72)$

Paso 5.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 72$ .

$π \cdot 72$

Paso 5.2.8

Mueve $72$ a la izquierda de $π$ .

$72 π$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$72 π$

Forma decimal:

$226.19467105 \dots$

Paso 7