Cálculo Ejemplos

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Paso 1

Dado que $44$ es constante con respecto a $x$ , mueve $44$ fuera de la integral.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Paso 2

Sea $x = 4 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $16$ de $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Factoriza $16$ de $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $16$ de $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.4

Reescribe $16 \sec^{2} (t)$ como ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $4 \sec (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Factoriza $4 \sec (t)$ de ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $4 \sec (t)$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ y $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Paso 3.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Factoriza $4$ de $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Paso 3.2.3.2

Aplica la regla del producto a $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{1}{16}$ y $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $44$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 6.2

Aplica la identidad recíproca.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 6.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 6.3.2

Combinar.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 6.3.3

Multiplica $\csc (t)$ por $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 6.3.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 6.3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 6.3.5

Combina $\cot (t)$ y $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 6.3.6

Reduce la expresión $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.6.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 6.3.6.2

Factoriza $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 6.3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 6.3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Paso 6.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Paso 7

Como la derivada de $- \csc (t)$ es $\csc (t) \cot (t)$ , la integral de $\csc (t) \cot (t)$ es $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{11}{4}$ y $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{x}{4})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{x}{4})$ . Por lo tanto, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ es $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Paso 10.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.7

Reescribe $\frac{16 + x^{2}}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.7.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.7.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.7.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Paso 10.1.10

Combinar.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Paso 10.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.11.1

Cancela el factor común.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Paso 10.1.11.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Paso 10.2

Combina $11$ y $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Paso 10.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 10.4

Combinar.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Paso 10.5

Multiplica $11$ por $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Paso 10.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$