Cálculo Ejemplos

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 4

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = \csc (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \csc (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.3

Diferencia.

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Paso 6.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.3.4.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Paso 6.1.3.4.2

Reordena los factores de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Paso 9.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Paso 9.2.4.2.4

Divide $- 2 u_{2}$ por $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$