Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 + 5 x^{3}$ y $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Mueve $5$ a la izquierda de $1 + 2 x$ .

$\frac{5 \cdot (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{5 (1 + 2 x) (3 x^{2}) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2.14

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(15 \cdot 1 + 15 (2 x)) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $15$ por $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x)) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.4.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{2 + 1}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{3}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.5

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 10 x^{3}}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Resta $10 x^{3}$ de $30 x^{3}$ .

$\frac{15 x^{2} + 20 x^{3} - 4}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$\frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$