Cálculo Ejemplos

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Paso 1.3.2

Como $\frac{2 π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ con respecto a $x$ es $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Paso 1.3.3

Combina fracciones.

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Paso 1.3.3.1

Combina $\frac{2 π}{3}$ y $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Paso 1.3.3.3

Combina $\frac{- 20 π}{3}$ y $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Paso 1.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Paso 1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Paso 1.3.6

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Paso 1.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Paso 1.3.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Paso 1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1

Combina $\frac{2 π}{3}$ y $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Paso 1.4.2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Paso 1.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Paso 1.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Paso 1.4.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- \frac{20 π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ y $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Paso 2.3.2

Mueve $20$ a la izquierda de $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3.4

Como $\frac{2 π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 π x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3.7

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Paso 2.3.8

Combina fracciones.

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Paso 2.3.8.1

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.8.3

Multiplica $20$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Paso 2.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Paso 2.5

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Divide cada término en $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ por $20 π$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ por $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Paso 5.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ por $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $20$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Factoriza $20$ de $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Paso 5.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.1.2.1

Factoriza $20$ de $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Paso 5.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Paso 5.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Paso 5.1.3.2

Divide $0$ por $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Paso 5.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Paso 5.4

Resta $\frac{π}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Paso 5.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.1.1

Simplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Paso 5.6.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6.1.1.2

Cancela el factor común de $2 π$ .

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Paso 5.6.1.1.2.1

Factoriza $2 π$ de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.1

Simplifica $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Paso 5.6.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Paso 5.6.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Paso 5.6.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.6.2.1.2.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Paso 5.6.2.1.2.2

Factoriza $π$ de $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Paso 5.6.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Paso 5.6.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Paso 5.6.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.2.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.6.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 5.7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Paso 5.8

Resuelve $x$

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Paso 5.8.1

Resta $0$ de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Paso 5.8.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.8.2.1

Resta $\frac{π}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Paso 5.8.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.8.2.3

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.8.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.8.2.5.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.8.2.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.4.1.1

Simplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Paso 5.8.4.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.8.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2 π$ .

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Paso 5.8.4.1.1.2.1

Factoriza $2 π$ de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 5.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.4.2.1

Simplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.4.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Paso 5.8.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Paso 5.8.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 5.8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.8.4.2.1.2.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 5.8.4.2.1.2.2

Factoriza $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Paso 5.8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Paso 5.8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Paso 5.8.4.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Paso 5.8.4.2.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 5.9

La solución a la ecuación $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{1}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{- 2}{4}$ y $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Reduce la expresión $\frac{- 2 π}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.2.1.3

Cancela el factor común.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Paso 7.3.3

Suma $- π$ y $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Paso 7.3.4

Divide $0$ por $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Paso 7.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Paso 7.3.6

Multiplica $40$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Paso 8

$x = - \frac{1}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{1}{4}$ es un máximo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Paso 9.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Paso 9.2.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Paso 9.2.3.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Paso 9.2.4

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Paso 9.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.5.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Paso 9.2.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Paso 9.2.5.3

Divide $0$ por $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Paso 9.2.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Paso 9.2.7

Multiplica $10$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Paso 9.2.8

La respuesta final es $10$ .

$y = 10$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Combina $\frac{5}{4}$ y $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{5 \cdot 2}{4}$ y $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.2.2

Reduce la expresión $\frac{10 π}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Factoriza $2$ de $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.2.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.3.1.2

Multiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Paso 11.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Paso 11.3.3

Suma $5 π$ y $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Paso 11.3.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Paso 11.3.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Paso 11.3.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Paso 11.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Paso 11.3.8

Multiplica $- 1$ por $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Paso 11.5

Multiplica $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Paso 11.5.2

Multiplica $\frac{40 π^{2}}{9}$ por $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Paso 12

$x = \frac{5}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5}{4}$ es un mínimo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5}{4}$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Paso 13.2.2

Suma $5$ y $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Paso 13.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Paso 13.2.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Paso 13.2.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Paso 13.2.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Paso 13.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Paso 13.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Paso 13.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Paso 13.2.5

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Paso 13.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Paso 13.2.6.2

Divide $π$ por $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Paso 13.2.7

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Paso 13.2.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Paso 13.2.9

Multiplica $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Paso 13.2.9.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Paso 13.2.10

La respuesta final es $- 10$ .

$y = - 10$

Paso 14

Estos son los extremos locales de $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ es un máximo local

$(\frac{5}{4}, - 10)$ es un mínimo local

Paso 15