Cálculo Ejemplos

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} - e^{5 y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 4 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{5 y}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 5 y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Paso 3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Paso 3.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Paso 3.3.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Paso 5.2

Reordena los factores en $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Paso 5.3

Resta $4 x' e^{4 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Paso 5.4

Resta $x e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Paso 5.5

Factoriza $x'$ de $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x'$ de $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Paso 5.5.2

Factoriza $x'$ de $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Paso 5.5.3

Factoriza $x'$ de $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Paso 5.6

Divide cada término en $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ por $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ por $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.3.5.1

Reescribe $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ como $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 5.6.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$