Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $6 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $4 π^{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $π$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Multiplica $- 6 π π$ .

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Paso 1.1.2.7.1.2.1

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.2.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π^{1}) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{1 + 1} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $6 π^{2}$ de $2 π^{2}$ .

$\frac{- 4 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $- 4 π^{2}$ y $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $π^{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Resta $π^{2}$ de $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x π]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 6 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x π$ con respecto a $x$ es $- 6 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.5

Como $4 π^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 π^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.6

Suma $4 x - 6 π$ y $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - π^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Paso 1.3.9

Como $- π^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $4 x - 6 π$ y $2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) - 6 π}{2 x}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + 2 (- 3 π)}{2 x}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 3 π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 (x)}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to π} \frac{2 x - 3 π}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $3 π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $π$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{π}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Resta $3 π$ de $2 π$ .

$\frac{- π}{π}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- π}{π}$

Paso 4.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$