Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Entonces $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (8 x) - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.5

Mueve $8$ a la izquierda de $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $8 \sec^{2} (8 x)$ y $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Paso 2.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$