Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{4 \tan (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{4 \tan (0)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Paso 1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} - 1}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1}$

Paso 1.3.6.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \tan (- 2 - 2 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = - 2 - 2 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.4

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.9

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.11

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + 1} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Paso 3.13.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.13.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13.6

Multiplica $e^{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Paso 4

Mueve el término $- 8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 8 lim_{x \to - 1} \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to - 1} \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (- 2 - 2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 8 \frac{{(lim_{x \to - 1} \sec (- 2 - 2 x))}^{2}}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$- 8 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 9

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 12

Mueve el límite dentro del exponente.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 14

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 15

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Paso 16

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 16.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Paso 16.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17

Simplifica la respuesta.

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.1.1.2

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 17.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.1.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 + 2)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (0)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.1.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 8 \frac{1^{2}}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 8 \frac{1}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Paso 17.2

Simplifica el denominador.

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Paso 17.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$- 8 \frac{1}{e^{0} + 1}$

Paso 17.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 8 \frac{1}{1 + 1}$

Paso 17.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$- 8 (\frac{1}{2})$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.3.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{1}{2}$

Paso 17.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 4 \frac{1}{2}$

Paso 17.3.3

Reescribe la expresión.

$- 4$