Cálculo Ejemplos

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x^{2} y^{7}$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.6

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 4 y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{5}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y^{3}$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $5 x^{4} x'$ de ambos lados de la ecuación.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Paso 5.2

Resta $28 y^{6} x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza $x'$ de $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.3.5

Factoriza $x'$ de $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ por $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ por $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $4 y^{2}$ de $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

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Paso 5.4.3.2.1

Factoriza $4 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $4 y^{2}$ de $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $4 y^{2}$ de $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$