Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Paso 2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.1

Evalúa $x \tan (x)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 3.1.2

Evalúa $\ln (| \sec (x) |)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Combina $\frac{π}{4}$ y $\tan (\frac{π}{4})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $0$ por $\tan (0)$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Paso 3.1.3.3

Suma $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ y $0$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Paso 3.1.3.4

Para escribir $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.1.3.5

Combina $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Paso 3.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Paso 3.1.3.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Paso 3.2.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Paso 3.2.5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ es aproximadamente $1.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Paso 3.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Paso 3.3.3

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Forma decimal:

$0.43882457 \dots$