Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (3 x)}{4 \sin (4 x)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{3}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 2.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 2.3.7.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 2.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 2.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Paso 2.3.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Paso 2.3.11

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{4 \cos (4 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{3}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (4 x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 3.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 3.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{16} \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $1$ .

$\frac{9}{16}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9}{16}$

Forma decimal:

$0.5625$