Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{- 3}{6}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.5

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{- 3}{6}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Paso 1.4

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

Paso 2.3.9

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

Paso 2.3.10

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

Paso 2.3.11

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

Paso 2.3.12

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Paso 2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

Paso 2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Paso 2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x + \frac{2}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 3.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$