Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Paso 1.5

Suma $4 x^{3} + 1$ y $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $4 x^{3} + 1$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} + 1 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = - 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 x^{3} = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 x^{3} = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Paso 5.5

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $- \frac{1}{4}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.5.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Paso 5.5.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Paso 5.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Paso 5.5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Paso 5.5.4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 5.5.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 5.5.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 5.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 5.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 5.5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 5.5.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 5.5.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 5.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.5.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.5.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.5.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.5.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 5.5.7.5.5

Evalúa el exponente.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 5.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 5.5.8.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 5.5.8.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 5.5.8.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 5.5.8.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 5.5.8.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 5.5.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.5.9.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Paso 5.5.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.9.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.9.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Paso 9.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Paso 9.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Paso 9.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Paso 9.4.2.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Paso 9.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \sqrt[3]{4}$

Paso 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 11.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.2.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ como $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.4.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 11.2.2.4.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.4.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 11.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Paso 11.2.3

Para escribir $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Paso 11.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Paso 11.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Paso 11.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.6.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Paso 11.2.6.1.2

Resta $4 \sqrt[3]{2}$ de $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Paso 11.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ es un mínimo local

Paso 13