Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(k^{2} + 2) x^{3} + k^{2} x - 2 k \sqrt{2} x^{3} + 2}{x^{2} - 5}$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x^{3} + 2 x^{3} + k^{2} x - 2 k \sqrt{2} x^{3} + 2}{x^{2} - 5}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{k^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $k^{2} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (k^{2} x)}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (k^{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{k^{2} x}{1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2.4

Divide $k^{2} x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{2 x}{1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $x$ de $k^{2} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x \cdot x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x \cdot x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 k \sqrt{2} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x}{1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $- 2 k \sqrt{2} x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k \sqrt{2} x + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Reordena los factores en $k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k \sqrt{2} x + \frac{2}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

Paso 4

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{k^{2}}{x}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

Paso 5

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{2}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

Paso 6

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{5}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - 0}$

Paso 7

Como su numerador no está acotado mientras que su denominador se acerca a un número constante, la fracción $\frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - 0}$ se acerca al infinito.

$\infty$