Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.6.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.2.6.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $e$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{1} - e}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica.

$\frac{0}{e - e}$

Paso 1.3.3.2

Resta $e$ de $e$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

Paso 3.9

Como $- e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

Paso 3.10

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Paso 11

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Divide $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Paso 13.2

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 13.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

Paso 13.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{e^{1}}$

Paso 13.3

Simplifica.

$\frac{3}{e}$