Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

Paso 1

Reescribe $x \log (x)$ como $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\log (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\log (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{x \ln (10)}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Paso 2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $x$ de $x \ln (10)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

Paso 2.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Paso 2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

Paso 3.2

Mueve el término $\frac{1}{\ln (10)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

Paso 5

Multiplica $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

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Paso 5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$