Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.4.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.3.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.3.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (- x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{x}$ y $- 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.12

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x + 3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ .

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Paso 3.14.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x + 3$ .

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Paso 3.14.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.7

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

Paso 3.16

Suma $3 e^{3 x + 3}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Paso 13

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 15.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Paso 15.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Paso 15.3

Simplifica el denominador.

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Paso 15.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

Paso 15.3.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

Paso 15.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 15.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$