Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $x$ de $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 3.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 3.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 3.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 4.2

Reordena $x^{\frac{1}{2}}$ y $2$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 4.3

Reordena $x^{\frac{1}{2}}$ y $- 1$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 4.4

Factoriza el negativo.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

Paso 4.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Cancela el factor común.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 4.8.2

Reescribe la expresión.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

Paso 4.9

Simplifica.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

Paso 4.10

Reordena $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $- x$ .

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$