Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{\frac{x}{5}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Paso 4

Sea $u = \frac{x}{5}$ . Entonces $d u = \frac{1}{5} d x$ , de modo que $5 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \frac{x}{5}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{5}$ .

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Paso 5.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Paso 5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$