Cálculo Ejemplos

$\int \frac{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d r$

Paso 1

Sea $u = r^{2} - x^{2}$ . Entonces $d u = 2 r d r$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = r^{2} - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $r^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2} - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $r^{2} - x^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 r + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Paso 1.1.4

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $r$ es $0$ .

$2 r + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 r$ y $0$ .

$2 r$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r^{2} - x^{2}$ .

${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$