Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = x - x^{2}$ . Entonces $d u = (1 - 2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = x - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 x$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$- 2 x + 1$

Paso 1.1.5

Reorganiza los términos.

$1 - 2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $- 2$ y en $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.3.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 3.2.5

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Paso 3.2.6

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Paso 3.2.7

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 4