Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} - 3 x - 5}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 3 x}{x} + \frac{- 5}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.1.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 3.2.2

Divide $- 3$ por $1$ .

$\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - \int \frac{5}{x} d x$

Paso 8

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 9

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 5 \ln (| x |) + C$