Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 1.4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 1.4.4.2

Factoriza $x$ de $x - 2 \ln (x) x$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 1.4.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 1.4.4.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Paso 1.4.4.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Paso 1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 1.6

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.2.2.4

Divide $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 2.10

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.10.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.10.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

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Paso 2.10.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.10.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Paso 2.10.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Paso 2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 2.11.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 2.11.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Paso 2.12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.12.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.1.2

Multiplica $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

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Paso 2.12.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.1.2.2

Simplifica $3 \ln (x^{2})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 2.12.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Paso 2.12.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Paso 2.12.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Paso 2.12.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Paso 2.12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4.2

Factoriza $x$ de $x - 2 \ln (x) x$ .

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Paso 4.1.4.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Paso 4.1.5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 4.1.6

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- \ln (x^{2}) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x^{2}) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Paso 5.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Paso 5.3.4

Reescribe $\ln (x^{2}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Paso 5.3.5

Resuelve $x$

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Paso 5.3.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Paso 5.3.5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica.

$x = \pm \sqrt{e}$

Paso 5.3.5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.3.5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{e}$

Paso 5.3.5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{e}$

Paso 5.3.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el argumento en $\ln (x^{2})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} \leq 0$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Paso 6.4.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.2.1

Simplifica $\sqrt{0}$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 0 |$

Paso 6.4.2.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$| x | \leq 0$

Paso 6.4.3

Escribe $| x | \leq 0$ como una función definida por partes.

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Paso 6.4.3.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 6.4.3.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 0$

Paso 6.4.3.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 6.4.3.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Paso 6.4.3.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 6.4.4

Obtén la intersección de $x \leq 0$ y $x \geq 0$ .

$x = 0$

Paso 6.4.5

Resuelve $- x \leq 0$ cuando $x < 0$ .

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Paso 6.4.5.1

Divide cada término en $- x \leq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.5.1.1

Divide cada término de $- x \leq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.4.5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.4.5.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.4.5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.5.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Paso 6.4.5.2

Obtén la intersección de $x \geq 0$ y $x < 0$ .

No hay solución

Paso 6.4.6

Obtén la unión de las soluciones.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{e}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{e}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Reescribe ${\sqrt{e}}^{6}$ como $e^{3}$ .

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Paso 9.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 9.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $3$ fuera del exponente.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.1.6

Resta $3$ de $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Paso 9.2

Reescribe ${\sqrt{e}}^{4}$ como $e^{2}$ .

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Paso 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 9.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Paso 9.2.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Paso 10

$x = \sqrt{e}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \sqrt{e}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{e}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{e}$ en la expresión.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Reescribe ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

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Paso 11.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Paso 11.2.1.5

Simplifica.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ es un máximo local

Paso 13