Cálculo Ejemplos

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 y^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $8 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3

Factoriza $2 y'$ de $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 y'$ de $8 y y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3.4

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3.5

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4

Factoriza.

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Paso 5.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.4.1.1

Reordena los términos.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 5.4.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.2.2

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.4.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.5

Divide cada término en $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ por $2 (3 y + 1) (y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ por $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $3 y + 1$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$