Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 5.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 6

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 8.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 9

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Paso 10

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 11.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 12

Combina $\sin (u_{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 14.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

Paso 16.2

Simplifica.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

Paso 16.2.2

Multiplica $\cos (u_{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$