Cálculo Ejemplos

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cot (1 - \sin (x))$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\cot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.2

Reescribe $\csc (1 - \sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.5

Combina $2$ y $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.6

Combina $\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

Paso 5.7

Reescribe $\cot (1 - \sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

Paso 5.8

Combinar.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

Paso 5.9

Multiplica $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ por $\sin (1 - \sin (x))$ sumando los exponentes.

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Paso 5.9.1

Multiplica $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ por $\sin (1 - \sin (x))$ .

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Paso 5.9.1.1

Eleva $\sin (1 - \sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

Paso 5.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

Paso 5.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

Paso 5.10

Factoriza $\sin (1 - \sin (x))$ de $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

Paso 5.11

Separa las fracciones.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

Paso 5.12

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ como un producto.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Paso 5.13

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Paso 5.14

Simplifica.

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Paso 5.14.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Paso 5.14.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.15

Factoriza $\sin (1 - \sin (x))$ de $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.16

Separa las fracciones.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.17

Convierte de $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.18

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.19

Convierte de $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.20

Divide $2$ por $1$ .

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Paso 5.21

Multiplica $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ .

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Paso 5.21.1

Eleva $\csc (1 - \sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Paso 5.21.2

Eleva $\csc (1 - \sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Paso 5.21.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Paso 5.21.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$