Cálculo Ejemplos

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $y y'$ de $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y y'$ de $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $y y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y y'$ de $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ por $y (2 x - 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ por $y (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2 x - 3 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{y}{2 x - 3 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (2 x - 3 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{2 x - 3 y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.1

Mueve $y$ .

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$