Cálculo Ejemplos

$6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Paso 1

Escribe $6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ como una función.

$f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 e^{x} d x$

Paso 12

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int e^{x} d x$

Paso 13

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (e^{x} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Paso 14.2

Reordena los términos.

$\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$