Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{x - 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 9.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 13.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 15

Suma $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 16

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 18

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 19

Simplifica la expresión.

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Paso 19.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 19.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2

Simplifica el numerador.

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Paso 20.2.1

Sea $u_{2} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4 u_{2} + 3}{2 u_{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 20.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 20.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{1} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.2

Simplifica.

$\frac{- \frac{2 (x + 1) - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \frac{2 x + 2 \cdot 1 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- \frac{2 x + 2 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.5

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{- \frac{x + 2 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.2.3.6

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.3

Combina los términos.

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Paso 20.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$ como un producto.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 20.3.2

Multiplica $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ por $\frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 20.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 3)}^{2}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.4

Reordena los factores en $- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2}}$