Cálculo Ejemplos

$2^{5 x - 3 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = 5 x - 3 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 3 x^{2}$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x - 3 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 3 (2 x))$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 6 x)$

Paso 2.7.2

Reordena los factores de $2^{5 x - 3 x^{2}} \ln (2) (5 - 6 x)$ .

$2^{5 x - 3 x^{2}} (5 - 6 x) \ln (2)$