Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Paso 6.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $8$ y en $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 6.1.3.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.10

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11

Combina $12$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.13.1

Multiplica $12$ por $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.13.2

Resta $3$ de $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.14

Para escribir $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.1.3.15

Combina $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Paso 6.1.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Paso 6.1.3.17

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Paso 6.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Paso 6.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Paso 6.3.3

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Forma decimal:

$9.17055845 \dots$

Paso 8