Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x e^{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x e^{x}}$ como ${(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x e^{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 7.3

Mueve ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 10.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 10.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la regla del producto a $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x} + e^{x})$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3

Combina los términos.

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Paso 11.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} e^{x} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.3

Combina $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.5.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 11.3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.6

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} e^{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.7.1

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.9

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.10

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.10.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} e^{x}$

Paso 11.3.11

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 11.3.12

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 11.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.13.1

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.14

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.15

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$