Cálculo Ejemplos

${(1 + e^{x})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + e^{x}$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Paso 4.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

Paso 4.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

Paso 4.3.2.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$