Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{3} + 2$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{3} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{3}$ y $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $t^{3} + 2$ y en $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 8.2.2

Para escribir $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 8.2.3

Combina $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

Paso 8.2.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

Paso 8.2.6

Reescribe $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ como un producto.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.2.7

Multiplica $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

Paso 8.2.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Paso 9.4

Reescribe $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ como $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Paso 9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Paso 10.2

Mueve el término $\frac{1}{9}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

Paso 10.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t^{3} + 2}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.7

Evalúa el límite.

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Paso 10.7.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.7.2.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

Paso 10.7.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

Paso 10.7.2.3

Multiplica $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

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Paso 10.7.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

Paso 10.7.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{9}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{1}$