Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{a} 10 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = a^{2} - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = a^{2} - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $a^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $a^{2}$ y $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Paso 2.5

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$10 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$10 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$- 5 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

Paso 9

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $0$ y en $a^{2}$ .

$- 5 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- 5 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$- 5 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- 5 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 5 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 5 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.6

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.2.6.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- 5 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 5 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- 5 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- 5 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 5 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 10.2.7

Multiplica los exponentes en ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 10.2.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 10.2.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.7.2.1

Cancela el factor común.

$- 5 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 10.2.7.2.2

Reescribe la expresión.

$- 5 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

Paso 10.2.8

Resta $\frac{2 a^{3}}{3}$ de $0$ .

$- 5 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

Paso 10.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 \frac{2 a^{3}}{3}$

Paso 10.2.10

Combina $5$ y $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{5 (2 a^{3})}{3}$

Paso 10.2.11

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 a^{3}}{3}$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{10}{3} a^{3}$

Paso 12

Combina $\frac{10}{3}$ y $a^{3}$ .

$\frac{10 a^{3}}{3}$