Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Paso 4

Convierte de $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ a $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Paso 5

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (x)$ y $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Paso 7

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Paso 8

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 10.2

Reordena $\tan^{2} (x)$ y $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 11

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Paso 12

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 12.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 12.3

Reordena $\sec (x)$ y $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 13

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 14

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 16

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 17

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Paso 19

Suma $2$ y $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Paso 20

Divide la única integral en varias integrales.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 21

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 22

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 23

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 23.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 24

Al resolver $\int \sec^{3} (x) d x$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Paso 25

Multiplica $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Paso 26

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Paso 27

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$