Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.2.4.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 1.3.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = - 1 - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{- 1 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.11.6

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + 2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ .

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Paso 3.13.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 3.13.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.13.6

Multiplica $e^{x + 2}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

Paso 3.15

Suma $e^{x + 2}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $\frac{1}{e^{x + 2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Paso 11

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

Paso 13

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 15.1.1

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

Paso 15.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

Paso 15.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Paso 15.3

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1$